भास्कर प्रमेयिका
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निम्नलिख सर्वसमिका को भास्कर प्रमेयिका (Bhaskara's Lemma) कहते हैं। यह सर्वसमिका चक्रवाल विधि में प्रयुक्त होती है।
- <math>\, Nx^2 + k = y^2\implies \,N\left(\frac{mx + y}{k}\right)^2 + \frac{m^2 - N}{k} = \left(\frac{my + Nx}{k}\right)^2</math>
जहाँ <math>m,\, x,\, y,\, N,</math> पूर्णांक हैं और <math>k</math> शून्येतर पूर्णांक (non-zero integer) है।
उपपत्ति
समीकरण के दोनों पक्षों को <math>m^2-N</math> से गुणा करके, <math>N^2x^2+2Nmxy+Ny^2</math> जोड़कर, इसका गुणनखण्ड करें तथा <math>k^2</math> से भाग दें।
- <math>\, Nx^2 + k = y^2\implies Nm^2x^2-N^2x^2+k(m^2-N) = m^2y^2-Ny^2</math>
- <math>\implies Nm^2x^2+2Nmxy+Ny^2+k(m^2-N) = m^2y^2+2Nmxy+N^2x^2</math>
- <math>\implies N(mx+y)^2+k(m^2-N) = (my+Nx)^2</math>
- <math>\implies \,N\left(\frac{mx + y}{k}\right)^2 + \frac{m^2 - N}{k} = \left(\frac{my + Nx}{k}\right)^2.</math>
जब तक न तो <math>k</math> और न ही <math>m^2-N</math> शून्य है, उपरोक्त निष्कर्ष दोनों दिशाओं में सत्य है। (implication goes in both directions). (यह भी नोट करें कि यह प्रमेयिका वास्तविक संख्याओं, पूर्णाकों और समिश्र संख्याओं -- सभी के लिए सत्य है।)
सन्दर्भ
- C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
- C. O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).
- George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).
इन्हें भी देखें
बाहरी कड़ियाँ