१ + १ + १ + १ + · · ·
गणित में, 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, जिसे निम्न प्रकार भी लिखा जाता है <math>\sum_{n=1}^{\infin} n^0</math>, <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1^n</math>, अथवा साधारणतया <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1</math>, एक अपसारी श्रेणी है इसका अर्थ यह है कि इस अनुक्रम के आंशिक योग वास्तविक संख्याओं में सीमा पर अभिसरण नहीं करते। अनुक्रम 1n को सार्वानुपात 1 के साथ गुणोत्तर श्रेणी भी माना जा सकता है। विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के प्रसंग में
- <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1 = +\infty \, </math>
चूँकि इसके आंशिक योग का अनुक्रम सीमा रहित एकदिष्टतः वर्धमान है।
जहाँ n0 का योग एक भौतिकीय अनुप्रयोग के रूप में प्राप्त होता है, यह कभी-कभी ज़ेटा फलन नियमितीकरण के रूप में भी प्राप्त होता है। यह रीमान ज़ेटा फलन का 1=s = 0 पर मान है
- <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}\, </math>
यद्यपि उपरोक्त दोनों सूत्र शून्य पर वैध नहीं हैं, अतः रीमान ज़ेटा फलन का वैश्लेषिक अनुवर्ती काम में लिया जा सकता है,
- <math>
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!,</math>
इसका उपयोग करने पर (यहाँ Γ(1) = 1 दिया गया है।),
- <math>
\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \zeta(1-s) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \left(\frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} + ... \right)\ \left(-\frac{1}{s} + ... \right) = -\frac{1}{2} \!</math> जहाँ ζ(s) का घातिय श्रेणी विस्तार लगभग s = 1 लागू होता है क्योंकि ζ(s) का वहाँ पर अवशेष का साधारण ध्रुव प्राप्त होता है। इस अर्थ में 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = 1/2 लिखा जाता है।
एमिलिओ एलिज़ल्ड़े ने श्रेणी के सम्बंध में निम्न प्रकार से प्रस्तुत किया: साँचा:blockquote
