लजांड्र बहुपद

गणित में लजांड्र अवकल समीकरण का हल लजांड्र बहुपद (Legendre functions) कहलाता है। लजांड्र अवकल समीकरण निम्नलिखित है-

<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.</math>

यह नाम आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है। यह अवकल समीकरण अभौतिकी एवं प्रौद्योगिकी में बार-बार देखने को मिलता है। विशेष रूप से, लाप्लास समीकरण को गोलीय निर्देशांक में हल करते समय यह समीकरण प्राप्त होता है।

लजान्द्र बहुपद के उदाहरण

n	<math>P_n(x)\,</math>
0	<math>1\,</math>
1	<math>x\,</math>
2	<math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,</math>
3	<math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,</math>
4	<math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,</math>
5	<math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,</math>
6	<math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,</math>
7	<math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,</math>
8	<math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,</math>
9	<math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,</math>
10	<math>\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,</math>

इन बहुपदों का ग्राफ नीचे दिखाया गया है (केवल n=5 तक) :

इन्हें भी देखें

• लजान्द्र रूपान्तर

बाहरी कड़ियाँ

• A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
• Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
• Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
• Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics