लजान्द्र रूपान्तर

लजान्द्र रूपान्तर की ज्यामितीय व्याख्या

गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है।

<math>Df = \left( Dg \right)^{-1}</math>

जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा

उदाहरण के लिये, फलन <math>f(x)=\tfrac{x^2}{2}</math> तथा फलन <math>g(p)=-\tfrac{p^2}{2}</math> एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं।

एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ^* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

<math>f^\star(p) = \sup_x\bigl(px-f(x)\bigr).</math>

उपयोग

• (१) ऊष्मागतिकी में - ऊष्मागतिक विभव प्राप्त करने के लिये,
• (२) क्लासिकल यांत्रिकी में -- to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism
• (३) सांख्यिकीय यांत्रिकी में,
• (३) अनेक चरों वाले अवकल समीकरणों का हल प्राप्त करने के लिये।

उदाहरण

प्रथम उदाहरण

Let साँचा:math defined on साँचा:math, where साँचा:math is a fixed constant.

For साँचा:math fixed, the function साँचा:math of साँचा:mvar has the first derivative साँचा:math and second derivative साँचा:math; there is one stationary point at साँचा:math, which is always a maximum. Thus, साँचा:math and

<math>f^*(x^*)=\frac{{x^*}^2}{4c}</math>

Clearly,

<math>f^{**}(x)=\frac{1}{4 (1/4c)}x^2=cx^2,</math>

namely साँचा:math.

द्वितीय उदाहरण

Let साँचा:math for साँचा:math.

For साँचा:math fixed, साँचा:math is continuous on साँचा:mvar compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that साँचा:math. The stationary point at साँचा:math is in the domain साँचा:math if and only if साँचा:math, otherwise the maximum is taken either at साँचा:math, or साँचा:math. It follows that

<math>f^*(x^*)=\begin{cases}2x^*-4,\quad&x^*<4\\ \frac{{x^*}^2}{4},&4\leqslant x^*\leqslant 6,\\3x^*-9,&x^*>6\end{cases}</math> .

तृतीय उदाहरण

The function साँचा:math is convex, for every साँचा:mvar (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly साँचा:math is never bounded from above as a function of साँचा:mvar, unless साँचा:math. Hence साँचा:math is defined on साँचा:math} and साँचा:math.

One may check involutivity: of course साँचा:math is always bounded as a function of साँचा:math}, hence साँचा:math. Then, for all साँचा:mvar one has

<math>\sup_{x^*\in\{c\}}(xx^*-f^*(x^*))=xc,</math>

and hence साँचा:math.

चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर)

Let

<math>f(x)=\langle x,Ax\rangle+c</math>

be defined on साँचा:math, where साँचा:mvar is a real, positive definite matrix. Then साँचा:mvar is convex, and

<math>\langle p,x\rangle-f(x)=\langle p,x \rangle-\langle x,Ax\rangle-c,</math>

has gradient साँचा:math and Hessian साँचा:math, which is negative; hence the stationary point साँचा:math is a maximum. We have साँचा:math, and

<math>f^*(p)=\frac14\langle p,A^{-1}p\rangle-c</math> .

गुण

<math>f(x)</math>	<math>\operatorname{dom}f</math>	<math>f^\star(x^\star)</math>	<math>\operatorname{dom}f^\star</math>	शर्तें
<math>af(x)</math>	<math>\operatorname{dom}f</math>	<math>af^\star(x^\star/a)</math>	<math>a\cdot\operatorname{dom}f^\star</math>	<math>a>0</math>
<math>f(ax)</math>	<math>a^{-1}\cdot\operatorname{dom}f</math>	<math>f^\star(x^\star/a)</math>	<math>a\cdot\operatorname{dom}f^\star</math>	<math>a>0</math>
<math>f(x)+a</math>	<math>\operatorname{dom}f</math>	<math>f^\star(x^\star)-a</math>	<math>\operatorname{dom}f^\star</math>	<math>a\in\mathbb R</math>
<math>f(x-a)</math>	<math>a+\operatorname{dom}f</math>	<math>f^\star(x^\star)+ax^\star</math>	<math>\operatorname{dom}f^\star</math>	<math>a\in\mathbb R</math>
<math>f(x)+ax</math>	<math>\operatorname{dom}f</math>	<math>f^\star(x^\star-a)</math>	<math>a+\operatorname{dom}f^\star</math>	<math>a\in\mathbb R</math>
<math>f(x)+g(x)</math>	<math>\operatorname{dom}f\cap\operatorname{dom}g</math>	<math>(f^\star\star_\text{inf}g^\star)(x^\star)</math>	<math>\operatorname{dom}f^\star+\operatorname{dom}g^\star</math>	<math>(f\star_{\text{inf}}g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}</math>
<math>(f\star_\text{inf}g)(x)</math>	<math>\operatorname{dom}f+\operatorname{dom}g</math>	<math>f^\star(x^\star)+g^\star(x^\star)</math>	<math>\operatorname{dom}f^\star\cap\operatorname{dom}g^\star</math>	<math>(f\star_{\text{inf}}g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}</math>
<math>ax+b</math>	<math>\mathbb R</math>	<math>-b</math>	<math>\{a\}</math>
x|^p/p</math>	<math>\mathbb R</math>	x^\star|^{p^\star}/p^\star</math>	<math>\mathbb R</math>	<math>1/p+1/p^\star=1</math>, <math>p>1</math>
<math>-x^p/p</math>	<math>[0,\infty)</math>	x^\star|^{p^\star}/p^\star</math>	<math>(-\infty,0]</math>	<math>1/p+1/p^\star=1</math>, <math>p<1</math>
<math>\exp(x)</math>	<math>\mathbb R</math>	<math>x^\star(\ln(x^\star)-1)</math>	<math>\mathbb R^+</math>
<math>x\ln(x)</math>	<math>\mathbb R^+</math>	<math>\exp(x-1)</math>	<math>\mathbb R</math>
<math>-1/2-\ln x</math>	<math>\mathbb R^+</math>	x^\star|</math>	<math>\mathbb R^-</math>
<math>x\exp(x+1)</math>	<math>\mathbb R</math>	<math>x^\star(W(x^\star)-1)^2/W(x^\star)</math>	<math>[-1/e,\infty)</math>	लैम्बर्ट का W फलन

इन्हें भी देखें

• लाप्लास रूपान्तर
• फूर्ये रूपान्तर