बीटा फलन
साँचा:asbox गणित में बीटा फलन (beta function) एक विशेष फलन है जो निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है-
- <math>
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!</math>
<math>\textrm{Re}(x) \,</math> के लिये, <math>\textrm{Re}(y) > 0.\,</math>
इसे 'प्रथम प्रकार का ऑयलर समाकल' (Euler integral of the first kind) भी कहते हैं। बीटा फलन का अध्ययन ऑयलर (Leonhard Euler) और लाग्रेंज (Adrien-Marie Legendre) ने किया था। बिटा फलन के लिये प्रतीक Β का प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि यह ग्रीक वर्ण 'बीटा' β का कैपिटल रूप है न कि लैटिन अल्फाबेट b का कैपिटल रूप (अर्थात B) .
गुण
<math>\mathrm{Re}(x) > 0</math> तथा <math>\mathrm{Re}(y) > 0</math> के लिए बीटा फलन को गामा फलन के अनुसार निम्नलिखित रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:
- <math>B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>
| प्रमाण |
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ज्ञात हो कि जब <math>\mathrm{Re}(x) > 0</math> तो <math>\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}u^{x-1} e^{-u} \mathrm{d}u</math>। अतः (दूसरी पंक्ति में <math>u = zt, v = z(1-t)</math> रूपांतरण का प्रयोग करते हुए) हम देखते हैं कि
\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) &= \int_{u = 0}^{\infty}\int_{v = 0}^{\infty}e^{-(u + v)} u^{x-1} v^{y-1} \mathrm{d}u \mathrm{d}v\\
&= \int_{z=0}^{\infty}\int_{t=0}^{1}e^{-z} z^{x+y-1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm{d}t\mathrm{d}z\\ &=\Gamma(x+y)B(x, y) \end{align} </math> (यहाँ तीसरी पंक्ति में समाकलन के क्रम को बदलने में फुबीनी प्रमेय का प्रयोग निहित है।) चूंकि <math>\mathrm{Re}(x) > 0</math> तथा <math>\mathrm{Re}(y) > 0</math> के लागू होने पर <math>\Gamma(x + y) \neq 0</math>, उपर्युक्त समीकरण हमारे प्रतिपादन की पुष्टि करता है। |
इन्हें भी देखें
बाहरी कड़ियाँ
बीटा फलन का मान ऐच्छिक परिशुद्धि के साथ इन संजाल-स्थलों पर प्राप्त किया जा सकता है: