समाकल सूची

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साँचा:sidebar with collapsible lists समाकलन, कलन की दो प्रमुख क्रियाओं में से एक है। अवकलन इस दृष्टि से समाकलन से भिन्न है कि अवकलज निकालने के लिये छोटे-छोटे और सरल नियम व उपाय हैं; जिनकी सहायता से कठिन से कठिन फलनों का भी अवकलज निकाला जा सकता है। समाकलन इस दृष्टि से कठिन है। इसलिये ज्ञात समाकलनों की सूची बहुत उपयोगी होती है।

नीचे कुछ अति सामान्य फलनों के समाकल दिये गये हैं:(x)

फलनों के समाकलन की सामान्य विधियाँ

(ये विधियाँ तभी लागू होंगी यदि दिया हुआ फलन समाकलनीय हो)

<math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \neq 0 \mbox{, constant)}\,\!</math>
<math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
<math>\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx</math> -- ( खंडश: समाकलन (इण्टीग्रेशन बाई पार्ट्स) )
<math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math>
<math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math>
<math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math>

सरल फलनों के समाकल

परिमेय फलन

<math>\int \,{\rm d}x = x + C</math>
<math>\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1</math>
<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math>
<math>\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan {dx \over a} + C</math>

अपरिमेय फलन

<math>\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C</math>
<math>\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C</math>
<math>\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C</math>

लघुगणकीय फलन

<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
<math>\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C</math>

चरघातांकी फलन

<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>
<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>

त्रिकोणमित्तीय फलन

<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
<math>\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C</math>
<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math>
<math>\int \mbox{cosec }{x} \, dx = \ln{\left| \mbox{cosec }{x} - \mbox{cot }{x}\right|} + C</math>
<math>\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C</math>
<math>\int \mbox{cosec }{x} \mbox{cot }{x} \, dx = -\mbox{cosec }{x} + C</math>
<math>\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C</math>
<math>\int \mbox{cosec}^2 x \, dx = -\mbox{cot }x + C</math>
<math>\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C</math>
<math>\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C</math>
<math>\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C</math>
(see integral of secant cubed)
<math>\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math>
<math>\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>
<math>\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>

हाइपरबोलिक फलन

<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math>
<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math>
<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math>
<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math>
<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C</math>
<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math>
<math>\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C</math>

इन्वर्स हाइपरबोलिक फलन

<math>\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C</math>
<math>\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C</math>
<math>\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C</math>
<math>\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C</math>
<math>\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C</math>
<math>\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C</math>

प्रतिवर्तन सूत्र (रिकर्सन फॉर्मूले)

<math>\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm d x =
\frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}
+ \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm d x,\quad n\geq 2</math>
<math>\int\sin^n(x)d x =

\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)dx -\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n-1}(x),\quad n\geq 2</math>

<math>\int\cos^n(x)d x =

\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)dx +\frac{1}{n}\sin(x)\cos^{n-1}(x),\quad n\geq 2</math>

Definite integrals lacking closed-form antiderivatives

There are some functions whose antiderivatives cannot be expressed in closed form. However, the values of the definite integrals of some of these functions over some common intervals can be calculated. A few useful integrals are given below.

<math>\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (see also Gamma function)
<math>\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (the Gaussian integral)
<math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math> (see also Bernoulli number)
<math>\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}</math>
<math>\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>
<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}</math> (if n is an even integer and <math> \scriptstyle{n \ge 2}</math>)
<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}</math> (if <math> \scriptstyle{n} </math> is an odd integer and <math> \scriptstyle{n \ge 3} </math>)
<math>\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>
<math>\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)</math> (where <math>\Gamma(z)</math> is the Gamma function)
<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]</math> (where <math>\exp[u]</math> is the exponential function <math>e^u</math>.)
<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (where <math>I_{0}(x)</math> is the modified Bessel function of the first kind)
<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) </math>
<math>\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,</math> (<math>\nu > 0\,</math>, this is related to the probability density function of the Student's t-distribution)

The method of exhaustion provides a formula for the general case when no antiderivative exists:

<math>\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left({ - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left({b - a} \right)2^{-n})</math>

The "sophomore's dream"

<math>\begin{align}

\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} &&(= 1.291285997\dots)\\ \int_0^1 x^x \,dx &= \sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots) \end{align}</math>

(जॉन बर्नौली के नाम से प्रसिद्ध; see sophomore's dream).

विशेष फलन






इन्हें भी देखें

बाहरी कड़ियाँ

समाकलजों की सूची

उपपत्तियाँ

आनलाइन सेवाएँ

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