यंग मापांक

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यांत्रिकी के सन्दर्भ में यंग गुणांक या यंग मापांक (Young's modulus), किसी समांग प्रत्यास्थ पदार्थ की प्रत्यास्थता का मापक है। यह एकअक्षीय प्रतिबल एवं विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित है। इसके अतिरिक्त दो और 'प्रत्यास्थता मापांक' हैं - आयतन प्रत्यास्थता मापांक एवं अपरूपण गुणांक।

गणना

यंग मापांक, E, का मान प्रतिबल में विकृति से भाग देकर निकाला जा सकता है।

<math> E \equiv \frac{\mbox {tensile stress}}{\mbox {extensional strain}} = \frac{\sigma}{\varepsilon}= \frac{F/A_0}{\Delta L/L_0} = \frac{F L_0} {A_0 \Delta L} </math>

जहाँ

E यंग मापांक है,
F तनाव में स्थित किसी वस्तु पर लगाया गया बल है,
A0 मूल (अपरिवर्तित) क्षेत्रफल है जिस पर बल लगाया गया है।
ΔL वस्तु की लम्बाई में परिवर्तन,
L0 वस्तु की मूल ९अपरिवर्तित) लम्बाई

किसी तने हुए या दबाये हुए पदार्थ द्वारा लगाया गया बल

यंग के मापांक का उपयोग करके यह निकाला जा सकता है कि किसी दिये हुए विकृति के लिये वह पदार्थ कितना बल लगाता है-

<math>F = \frac{E A_0 \Delta L} {L_0}</math>

जहाँ F वह बल है जो पदार्थ को ΔL लम्बाई तानने या दबाने पर पदार्थ द्वारा लगाया जाता है।

इस सूत्र से हुक का नियम निकाला जा सकता है जो किसी आदर्श स्प्रिंग के संदृढ़ता (स्टिफनेस) को परिभाषित करता है।

<math>F = \left( \frac{E A_0} {L_0} \right) \Delta L = k x \,</math>

जहाँ यह संतृप्तता में चला जाता है।

<math>k = \begin{matrix} \frac {E A_0} {L_0} \end{matrix} \,</math> and <math>x = \Delta L. \,</math>

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा

संग्रहित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy) का मान उपरोक्त व्यंजक को L के सापेक्ष समाकलित करके निकाला जा सकता है।

<math>U_e = \int {\frac{E A_0 \Delta L} {L_0}}\, d\Delta L = \frac {E A_0} {L_0} \int { \Delta L }\, d\Delta L = \frac {E A_0 {\Delta L}^2} {2 L_0}</math>

जहाँ Ue प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा है।

इकाई आयतन में संगृहीत प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का मान निम्नलिखित सूत्र से दीया जायेगा-

<math>\frac{U_e} {A_0 L_0} = \frac {E {\Delta L}^2} {2 L_0^2} = \frac {1} {2} E {\varepsilon}^2</math>, जहाँ <math>\varepsilon = \frac {\Delta L} {L_0}</math> पदार्थ की विकृति है।

यह सूत्र हुक के नियम के समाकलन के रूप में भी लिखा जा सकता है-

<math>U_e = \int {k x}\, dx = \frac {1} {2} k x^2.</math>

प्रत्यास्थता मापांकों में सम्बन्ध

समांग समदैशिक (homogeneous isotropic) पदार्थों के लिये प्रत्यास्थता मापांकों (यंग मापांक E, अपरूपण मापांक G, आयतन गुणांक K, और प्वासों अनुपात ν)के बीच सरल सम्बन्ध पाये जाते हैं। अतः यदि कोई दो मापांक दिये हों तो अन्य मापांकों का मान निकाला जा सकता है।

<math>E = 2G(1+\nu) = 3K(1-2\nu).\,</math>

यंग मापांक के लगभग (Approximate) मान

विभिन्न पदार्थों के यंग मापांक[१]
पदार्थ जिगा पास्कल (GPa) psi
रबर (small strain) 0.01-0.1 1,500-15,000
पीटीएफई (Teflon)साँचा:category handler[<span title="स्क्रिप्ट त्रुटि: "string" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।">citation needed] 0.5 75,000
Low density polyethyleneसाँचा:category handler[<span title="स्क्रिप्ट त्रुटि: "string" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।">citation needed] 0.2 30,000
HDPE 0.8
Polypropylene 1.5-2 217,000-290,000
Bacteriophage capsids[२] 1-3 150,000-435,000
Polyethylene terephthalate 2-2.7
Polystyrene 3-3.5 435,000-505,000
Nylon 2-4 290,000-580,000
Diatom frustules (largely silicic acid)[३] 0.35-2.77 50,000-400,000
Medium-density fiberboard[४] 4 580,000
Pine wood (along grain)साँचा:category handler[<span title="स्क्रिप्ट त्रुटि: "string" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।">citation needed] 8.963 1,300,000
Oak wood (along grain) 11 1,600,000
High-strength concrete (under compression) 30 4,350,000
Hemp fiber[५] 35
Magnesium metal (Mg) 45 6,500,000
Flax fiber[६] 58
Aluminium 69 10,000,000
Stinging nettle fiber[७] 87
Glass (see chart) 50-90
Kevlar[८] 70.5-112.4
Mother-of-pearl (nacre, largely calcium carbonate)[९] 70 10,000,000
Tooth enamel (largely calcium phosphate)[१०] 83 12,000,000
Brass and bronze 100-125 17,000,000
Titanium (Ti) 16,000,000
Titanium alloys 105-120 15,000,000-17,500,000
Copper (Cu) 117 17,000,000
Glass-reinforced plastic (70/30 by weight fibre/matrix, unidirectional, along grain)साँचा:category handler[<span title="स्क्रिप्ट त्रुटि: "string" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।">citation needed] 40-45 5,800,000-6,500,000
Glass-reinforced polyester matrix[११] 17.2 2,500,000
Carbon fiber reinforced plastic (50/50 fibre/matrix, unidirectional, along grain)साँचा:category handler[<span title="स्क्रिप्ट त्रुटि: "string" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।">citation needed] 125-150 18,000,000-22,000,000
Carbon fiber reinforced plastic (70/30 fibre/matrix, unidirectional, along grain)[१२] 181 26,300,000
Silicon[१३] 185
Wrought iron 190–210
Steel 200 29,000,000
polycrystalline Yttrium iron garnet (YIG)[१४] 193 28,000,000
single-crystal Yttrium iron garnet (YIG)[१५] 200 30,000,000
Beryllium (Be) 287 42,000,000
Molybdenum (Mo) 329
Tungsten (W) 400-410 58,000,000-59,500,000
Sapphire (Al2O3) along C-axisसाँचा:category handler[<span title="स्क्रिप्ट त्रुटि: "string" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।">citation needed] 435 63,000,000
Silicon carbide (SiC) 450 65,000,000
Osmium (Os) 550 79,800,000
Tungsten carbide (WC) 450-650 65,000,000-94,000,000
Single-walled carbon nanotube[१६] 1,000+ 145,000,000+
Diamond (C)[१७] 1220 150,000,000-175,000,000

इन्हें भी देखें

सन्दर्भ

  1. ↑ स्क्रिप्ट त्रुटि: "citation/CS1" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।
  2. ↑ साँचा:cite journal
  3. ↑ साँचा:cite journal
  4. ↑ स्क्रिप्ट त्रुटि: "citation/CS1" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।
  5. ↑ Nabi Saheb, D.; Jog, JP. (1999). "Natural fibre polymer composites: a review". Advances in Polymer Technology. 18 (4): 351–363. doi:10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X. {{cite journal}}: line feed character in |journal= at position 12 (help).
  6. ↑ Bodros, E. (2002). "Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase". Composite Part A. 33 (7): 939–948. doi:10.1016/S1359-835X(02)00040-4..
  7. ↑ Bodros, E.; Baley, C. (15 मई 2008). "Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica)". Materials Letters. 62 (14): 2143–2145. doi:10.1016/j.matlet.2007.11.034. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help).
  8. ↑ DuPont (2001). "Kevlar Technical Guide": 9. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
  9. ↑ साँचा:cite journal
  10. ↑ साँचा:cite journalसाँचा:category handlerसाँचा:main otherसाँचा:main other[dead link]
  11. ↑ स्क्रिप्ट त्रुटि: "citation/CS1" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।
  12. ↑ स्क्रिप्ट त्रुटि: "citation/CS1" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।
  13. ↑ स्क्रिप्ट त्रुटि: "citation/CS1" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है।
  14. ↑ Chou, H. M.; Case, E. D. (November, 1988). "Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods". Journal of Materials Science Letters. 7 (11): 1217–1220. doi:10.1007/BF00722341. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help).
  15. ↑ http://www.isowave.com/pdf/materials/Yttrium_Iron_Garnet.pdf स्क्रिप्ट त्रुटि: "webarchive" ऐसा कोई मॉड्यूल नहीं है। YIG properties
  16. ↑ साँचा:cite web
  17. ↑ साँचा:cite book

बाहरी कड़ियाँ

परिवर्तन के सूत्र
होमोजिनस आइसोट्रॉपिक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के कोई भी दो मापांक दिये हों तो अन्य गुण निम्नलिखित सूत्रों द्वारा प्राप्त किये जा सकते हैं।
<math>(K,\,E)</math> <math>(K,\,\lambda)</math> <math>(K,\,G)</math> <math>(K,\, \nu)</math> <math>(E,\,G)</math> <math>(E,\,\nu)</math> <math>(\lambda,\,G)</math> <math>(\lambda,\,\nu)</math> <math>(G,\,\nu)</math> <math>(G,\,M)</math>
<math>K=\,</math> <math>K</math> <math>K</math> <math>K</math> <math>K</math> <math>\tfrac{EG}{3(3G-E)}</math> <math>\tfrac{E}{3(1-2\nu)}</math> <math>\lambda+ \tfrac{2G}{3}</math> <math>\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}</math> <math>\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}</math> <math>M - \tfrac{4G}{3}</math>
<math>E=\, </math> <math>E</math> <math>\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}</math> <math>\tfrac{9KG}{3K+G}</math> <math>3K(1-2\nu)\,</math> <math>E</math> <math>E</math> <math>\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}</math> <math>\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}</math> <math>2G(1+\nu)\,</math> <math>\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}</math>
<math>\lambda=\,</math> <math>\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}</math> <math>\lambda</math> <math>K-\tfrac{2G}{3}</math> <math>\tfrac{3K\nu}{1+\nu}</math> <math>\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}</math> <math>\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}</math> <math>\lambda</math> <math>\lambda</math> <math>\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}</math> <math>M - 2G\,</math>
<math>G=\, </math> <math>\tfrac{3KE}{9K-E}</math> <math>\tfrac{3(K-\lambda)}{2}</math> <math>G</math> <math>\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}</math> <math>G</math> <math>\tfrac{E}{2(1+\nu)}</math> <math>G</math> <math>\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}</math> <math>G</math> <math>G</math>
<math>\nu=\,</math> <math>\tfrac{3K-E}{6K}</math> <math>\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}</math> <math>\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}</math> <math>\nu</math> <math>\tfrac{E}{2G}-1</math> <math>\nu</math> <math>\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}</math> <math>\nu</math> <math>\nu</math> <math>\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}</math>
<math>M=\,</math> <math>\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}</math> <math>3K-2\lambda\,</math> <math>K+\tfrac{4G}{3}</math> <math>\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}</math> <math>\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}</math> <math>\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}</math> <math>\lambda+2G\,</math> <math>\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}</math> <math>\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} </math> <math>M</math>
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