सीमा तुलना परीक्षण

गणित में, सीमांत तुलना परीक्षण (limit comparison test) अनन्त श्रेणी के अभिसरण की एक विधि है।

कथन

माना कि <math> \Sigma_n a_n </math> और <math>\Sigma_n b_n</math> दो श्रेणियाँ हैं जहाँ सभी <math>n</math> के लिए <math> a_n, b_n \geq 0 </math> है।

तब यदि <math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c</math> जहाँ <math> 0 < c < \infty </math> है तब दोनो श्रेणी या तो अभिसारी होंगी या अपसारी।

उपपत्ति

चूँकि <math> \lim \frac{a_n}{b_n} = c </math> और हम जानते हैं कि सभी <math> \varepsilon </math> के लिए एक पूर्णांक <math>n_0</math> इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है कि <math>n \geq n_0 </math> हमें <math> \left| \frac{a_n}{b_n} - c \right| < \varepsilon </math> प्राप्त होता है अथवा

<math> - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} - c < \varepsilon </math>

<math> c - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < c + \varepsilon </math>

<math> (c - \varepsilon)b_n < a_n < (c + \varepsilon)b_n </math>

प्रत्येक <math> c > 0 </math> के लिए <math> \varepsilon </math> का मान स्वैच्छिक रूप से छोटा चयनित किया जा सकता है जहाँ <math> c-\varepsilon </math> धनात्मक प्राप्त हो। अतः <math> b_n < \frac{1}{c-\varepsilon} a_n </math> हो और प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से यदि <math>a_n</math> अभिसारी है तो <math> b_n </math> भी अभिसारी होगी।

इसी प्रकार <math> a_n < (c + \varepsilon)b_n </math>, अतः यदि <math> b_n </math> अभिसारी है तब प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से <math> a_n </math> भी अभिसारी होगी।

अतः या तो दोनों श्रेणियाँ अभिसारी होंगी अथवा अपसारी।

उदाहरण

हम ज्ञात करना चाहते हैं कि श्रेणी <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n} </math> अभिसारी है। इससे तुलना हम अभिसारी श्रेणी <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} </math> से करते हैं।

चूँकि <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \frac{n^2}{1} = 1 > 0 </math> अतः हम प्राप्त करते हैं कि मूल श्रेणी भी अभिसारी है।

इन्हें भी देखें

• अभिसरण परीक्षण
• प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण

बाहरी कड़ियाँ

• Pauls Online Notes on Comparison Test