लग्रान्ज बहुपद

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लग्रान्ज बहुपदों (Lagrange polynomials) का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण (numerical analysis) में होता है।

परिभाषा

माना k + 1 बिन्दुओं का निम्नलिखित समुच्चय दिया हुआ है

<math>(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)</math>

जहाँ सभी x_j एक दूसरे से भिन्न हैं, तो निम्नलिखित अंतर्वेशी बहुपद (interpolating polynomial) लग्रानज बहुपद कहलाता है-

जहाँ आधार बहुपद निम्नलिखित है-

<math>\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}</math>

उदाहरण

tan y का अन्तर्वेशन

माना फलन <math>f(x)=\tan(x)</math> पर कुछ बिन्दु लेते हैं,

<math>x_0=-1.5</math>	<math>f(x_0)=-14.1014</math>
<math>x_1=-0.75</math>	<math>f(x_1)=-0.931596</math>
<math>x_2=0</math>	<math>f(x_2)=0</math>
<math>x_3=0.75</math>	<math>f(x_3)=0.931596</math>
<math>x_4=1.5</math>	<math>f(x_4)=14.1014</math>

इन ५ बिन्दुओं के लिये अन्तर्वेशन बहुपद ४ घात का होगा।

आधार बहुपद निम्नलिखित हैं-

<math>\ell_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}

      ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)</math>

<math>\ell_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}

      =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)</math>

<math>\ell_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}

      ={1\over 243} (243-540x^2+192x^4)</math>

<math>\ell_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}

      =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)</math>

<math>\ell_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}

      ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)</math>

इस प्रकार, निम्नलिखित अन्तर्वेशन बहुपद प्राप्त होता है-

लग्रान्ज बहुपद

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