फूर्ये रूपान्तर

साँचा:asbox फूर्ये रूपान्तर (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम जोसेफ फूर्ये के नाम पर पड़ा है।

फूर्ये रूपान्तर समय <math> \scriptstyle f(t) </math> के किसी फलन को एक नए फलन <math>\scriptstyle \hat f or \scriptstyle F, </math> में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन F को फलन f का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।

<math> \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t </math>

प्रमुख सूत्र

	फलन	रूपान्तर	टिप्पणी
1	<math>af(t)+bg(t)\,</math>	<math>aF(\omega)+bG(\omega)\,</math>	रैखिकता
2	<math>f(t-a)\,</math>	<math>e^{-i\omega a}F(\omega)\,</math>	विलम्ब (delay)
3	<math>e^{iat}f(t)\,</math>	<math>F(\omega-a)\,</math>	आवृत्ति शिफ्ट
4	<math>f(at)\,</math>	a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,</math>	a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> 'चपटा' हो जाएगा।
5	<math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,</math>	<math>(i\omega)^n F(\omega)\,</math>	Свойство преобразования Фурье от <math>n</math>
6	<math>t^n f(t)\,</math>	<math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,</math>
7	<math>(f*g)(t)\,</math>	<math>\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,</math>	फलन <math>f*g</math> का अर्थ है - फलन <math>f</math> और <math>g</math> का कॉनवोलुशन.
8	<math>f(t)g(t)\,</math>	<math>\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,</math>
9	<math>\delta(t)\,</math>	<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math>	<math>\delta(t)</math> का अर्थ है - डिरैक डेल्टा फलन
10	<math>1\,</math>	<math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,</math>
11	<math>t^n\,</math>	<math>i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,</math>
12	<math>e^{iat}\,</math>	<math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,</math>
13	<math>\cos(at)\,</math>	<math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math>	1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - <math>\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,</math>
14	<math>\sin(at)\,</math>	<math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,</math>
15	<math>\exp(-at^2)\,</math>	<math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,</math>	इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन <math>\exp(-t^2/2)</math> का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
16	<math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,</math>	<math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,</math>	रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
17	<math>\frac{1}{t}\,</math>	<math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,</math>	यहाँ <math>\sgn(\omega)\,</math> — sgn फलन (चिह्न फलन) है।
18	<math>\frac{1}{t^n}\,</math>	<math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,</math>	17 का सामान्यीकृत रूप
19	<math>\sgn(t)\,</math>	<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,</math>	17 का द्वैत
20	<math>\sqrt{2\pi}\theta(t)\,</math>	<math>\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,</math>	यहाँ <math>\theta(t)\,</math> — हेविसाइड फलन है।

इन्हें भी देखें

• फूर्ये श्रेणी

बाहरी कड़ियाँ

• The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples — A Matlab tutorial
• The Fourier Transform Tutorial Site (thefouriertransform.com)
• Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
• Stephan Bernsee's FFTlab (Java Applet)
• Stanford Video Course on the Fourier Transform
• साँचा:springer
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Fourier Transform
• The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension
• An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform