प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
(प्रतिलोम वृत्तीय फलन से अनुप्रेषित)
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गणित में त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric functions) कहते हैं। इनके डोमेन समुचित रूप से सीमित करके पारिभाषित किये गये हैं। इन्हें sin−1, cos−1 आदि के रूप में निरूपित करते हैं और 'साइन इन्वर्स', 'कॉस इन्वर्स' आदि बोलते हैं।
- <math>\operatorname{arcsin}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{sin}\ y = x</math>
- <math>\operatorname{arccos}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{cos}\ y = x</math>
- <math>\operatorname{arctg}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{tg}\ y = x</math>
- <math>\operatorname{arcctg}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{ctg}\ y = x</math>
- <math>\operatorname{arcsec}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{sec}\ y = x</math>
- <math>\operatorname{arccsc}\ x = y</math> होगा, यदि <math>\operatorname{csc}\ y = x</math>
उदाहरण:
- <math>\operatorname{arcsin}\ 0 = 0</math>
- <math>\operatorname{arcsin}\ 0.5 = \frac{\pi}{6}</math>
- <math>\operatorname{arcsin}\ 1 = \frac{\pi}{2}</math>
- <math>\operatorname{arccos}\ 0 = \frac{\pi}{2}</math>
- <math>\operatorname{arccos}\ 0.5 = \frac{\pi}{3}</math>
- <math>\operatorname{arccos}(-1) = \pi</math>
- <math>\operatorname{arctg}\ 0 = 0</math>
- <math>\operatorname{arctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}</math>
- <math>\operatorname{arcctg}\ 0 = \frac{\pi}{2}</math>
- <math>\operatorname{arcctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}</math>
मुख्य मान
चूँकि कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी (one-to-one) नहीं है, इनके प्रतिलोम फलन तभी सम्भव होंगे यदि इनके डोमेन सीमित रखे जांय।
निम्नांकित सारणी में मुख्य प्रतिलोमों का विवरण दिया गया है-
| नाम | सामान्य निरूपण | परिभाषा | वास्तविक परिणाम के लिये x का डोमेन | मुख्य मानों का परास (रेंज) (रेडियन) |
मुख्य मानों का परास (डिग्री) |
|---|---|---|---|---|---|
| arcsine | y = arcsin x | x = sin y | −1 ≤ x ≤ 1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 | −90° ≤ y ≤ 90° |
| arccosine | y = arccos x | x = cos y | −1 ≤ x ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π | 0° ≤ y ≤ 180° |
| arctangent | y = arctan x | x = tan y | all real numbers | −π/2 < y < π/2 | −90° < y < 90° |
| arccotangent | y = arccot x | x = cot y | all real numbers | 0 < y < π | 0° < y < 180° |
| arcsecant | y = arcsec x | x = sec y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π | 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180° |
| arccosecant | y = arccsc x | x = csc y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 | -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90° |
यदि x को समिश्र संख्या होने की छूट हो तो y का रेंज केवल इसके वास्तविक भाग (real part) पर ही लागू होगा।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में सम्बन्ध
Complementary angles:
- <math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>
- <math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>
- <math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math>
Negative arguments:
- <math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>
- <math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>
- <math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>
- <math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>
- <math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>
- <math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math>
Reciprocal arguments:
- <math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math>
- <math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math>
- <math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,</math>
- <math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x < 0 \,</math>
- <math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,</math>
- <math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x < 0 \,</math>
- <math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math>
- <math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math>
If you only have a fragment of a sine table:
- <math>\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 </math>
- <math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math>
Whenever the square root of a complex number is used here, we choose the root with the positive real part (or positive imaginary part if the square was negative real).
From the half-angle formula <math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math>, we get:
- <math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math>
- <math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 < x \leq +1 </math>
- <math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math>
त्रिकोणमितीय फलनों एवं प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में संबन्ध
- <math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>
- <math>\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
- <math>\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
- <math>\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
- <math>\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
सामान्य हल (General solutions)
निम्नलिखित में k कोई पूर्णांक है।
- <math>\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi</math>
- <math>\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi</math>
- <math>\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan(x) + k\pi</math>
- <math>\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccot(x) + k\pi</math>
- <math>\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi</math>
- <math>\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi</math>