डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म

गणित में डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म या डीटीएफटी (discrete-time Fourier transform or DTFT), फुरिअर विश्लेषण के कई रुपों में से एक रूप है। यह अनन्त तक परिभाषित किसी अनावर्ती (नॉन्-पेरिऑडिक) डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस को रूपानतरित करता है। इसे यह भी कहते हैं कि समय-डोमेन का आंकड़ा आवृत्ति-डोमेन में बदल गया। डीटीएफटी द्वारा प्राप्त आवृत्ति-डोमेन का आंकड़ा सतत (कांटिन्युअस) एवं आवर्ती होता है।

डीटीएफटी की परिभाषा

यदि कोई वास्तविक (real) या समिश्र (complex) संख्याओं का समुच्चय : <math>x[n], \; n\in\mathbb{Z}</math> (पूर्णांक), दिया हो तो <math>x[n]\,</math> का डीटीएफटी प्रायः इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

<math>X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}.</math>

व्युत्क्रम रुपान्तर (Inverse transform)

निम्नलिखित रुपान्तर करने पर डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस फिर से प्राप्त हो जायेगा:

<math>x[n]\,</math>	<math>= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega</math>
	<math>= T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT}\, df.</math>

The integrals span one full period of the DTFT, which means that the x[n] samples are also the coefficients of a Fourier series expansion of the DTFT.   Infinite limits of integration change the transform into a continuous-time Fourier transform [inverse], which produces a sequence of Dirac impulses. That is:

<math>

\begin{align} \int_{-\infty}^\infty X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df &=\int_{-\infty}^\infty \left(T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\ e^{-i 2\pi f T n}\right)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT) \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi f T n}\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - n T). \end{align} </math>

डीटीएफटी की सूची

नीचे कुछ मानक डिस्क्रीट टाइम सेक्वेंस एवं उनके डीटीएफटी रुपानतर दिये हुए हैं। इसमें प्रयुक्त प्रतीकों का अर्थ निम्नवत है:

• <math>n \!</math> is an integer representing the discrete-time domain (in samples)
• <math>\omega \!</math> is a real number in <math>(-\pi,\ \pi)</math>, representing continuous angular frequency (in radians per sample).
  • The remainder of the transform <math>(|\omega| > \pi \,)</math> is defined by: <math>X(\omega + 2\pi k) = X(\omega)\,</math>
• <math>u[n] \!</math> is the discrete-time unit step function
• <math>\operatorname{sinc}(t) \!</math> is the normalized sinc function
• <math>\delta (\omega) \!</math> is the Dirac delta function
• <math>\delta [n] \!</math> is the Kronecker delta <math>\delta_{n,0} \!</math>
• <math> \operatorname{rect}(t) </math> is the rectangle function for arbitrary real-valued t:

<math>\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}

0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \end{cases} </math>

• <math>\operatorname{tri}(t) </math> is the triangle function for arbitrary real-valued t:

<math>\operatorname{tri}(t) = \land (t) =

\begin{cases} 1 + t; & - 1 \leq t \leq 0 \\ 1 - t; & 0 < t \leq 1 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} </math>

Time domain <math> x[n] \, </math>	Frequency domain <math> X(\omega) \, </math>	Remarks
<math>\delta [n] \!</math>	<math>1 \!</math>
<math>\delta [n - M] \!</math>	<math>e^{-i \omega M} \!</math>	integer M
<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \,</math>	<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left(\frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \,</math>	integer M
<math>u[n]\!</math>	<math>\frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!</math>
<math>e^{-ian} \!</math>	<math> 2\pi \delta (\omega + a) \, </math>	real number a
<math>\cos (a n) \!</math>	<math>\pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right]</math>	real number a
<math>\sin (a n) \!</math>	<math>\frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta (\omega + a) \right]</math>	real number a
<math> \mathrm{rect} \left[ { (n - M/2) \over M } \right] </math>	<math> { \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin(\omega / 2) } \, e^{ -i \omega M / 2 }</math>	integer M
<math>\operatorname{sinc} [(a + n)]</math>	<math>e^{i a \omega} \!</math>	real number a
<math>W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\,</math>	<math>\operatorname{tri} \left({ \omega \over 2\pi W } \right)</math>	real number W <math>0 < W \le 0.5</math>
<math>W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)]</math>	<math>\operatorname{rect} \left({ \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega}</math>	real numbers W, a <math>0 < W \le 1</math>
<math> \begin{cases} 0 & n=0 \\ \frac{(-1)^n}{n} & \mbox{elsewhere} \end{cases} </math>	<math>j \omega</math>	it works as a differentiator filter
<math>\frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\}</math>	<math>j \omega \cdot \operatorname{rect} \left({ \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega}</math>	real numbers W, a <math>0 < W \le 1</math>
<math>\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1]</math>	\omega | \!</math>
<math> \begin{cases} 0; & n \mbox{ odd} \\ \frac{2}{\pi n} ; & n \mbox{ even} \end{cases} </math>	<math> \begin{cases} j & \omega < 0 \\ 0 & \omega = 0 \\ -j & \omega > 0 \end{cases} </math>	Hilbert transform
<math>\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right]</math>		real numbers A, B complex C

डीटिएफटी के गुणधर्म

This table shows the relationships between generic discrete-time Fourier transforms. We use the following notation:

• <math>*\!</math> is the convolution between two signals
• <math>x[n]^*\!</math> is the complex conjugate of the function x[n]
• <math>\rho_{xy} [n]\!</math> represents the correlation between x[n] and y[n].

The first column provides a description of the property, the second column shows the function in the time domain, the third column shows the spectrum in the frequency domain:

Property	Time domain <math>x[n] \!</math>	Frequency domain <math>X(\omega) \!</math>	Remarks
Linearity	<math>a x[n] + b y[n] \!</math>	<math> a X(e^{i \omega}) + b Y(e^{i \omega}) \!</math>
Shift in time	<math>x[n - k] \!</math>	<math>X(e^{i \omega}) e^{-i \omega k} \!</math>	integer k
Shift in frequency (modulation)	<math>x[n]e^{ian} \!</math>	<math>X(e^{i (\omega-a)}) \!</math>	real number a
Time reversal	<math>x[- n] \!</math>	<math>X(e^{-i \omega}) \!</math>
Time conjugation	<math>x[n]^* \!</math>	<math>X(e^{-i \omega})^* \!</math>
Time reversal & conjugation	<math>x[-n]^* \!</math>	<math>X(e^{i \omega})^* \!</math>
Derivative in frequency	<math>\frac{n}{i} x[n] \!</math>	<math>\frac{d X(e^{i \omega})}{d \omega} \!</math>
Integral in frequency	<math>\frac{i}{n} x[n] \!</math>	<math>\int_{-\pi}^{\omega} X(e^{i \vartheta}) d \vartheta \!</math>
Convolve in time	<math>x[n] * y[n] \!</math>	<math>X(e^{i \omega}) \cdot Y(e^{i \omega}) \!</math>
Multiply in time	<math>x[n] \cdot y[n] \!</math>	<math>\frac{1}{2 \pi} X(e^{i \omega}) * Y(e^{i \omega}) \!</math>
Correlation	<math>\rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \!</math>	<math>R_{xy} (\omega) = X(e^{i \omega})^* \cdot Y(e^{i \omega}) \!</math>

सममिति के गुण (Symmetry Properties)

फुरिअर रुपान्तर, वास्तविक एवं काल्पनिक (real and imaginary) या सम एवं विषम (even and odd) के योग के रूप में व्यक्त की जा सकती है।
<math>X(e^{i \omega}) = X_R(e^{i \omega}) + iX_I(e^{i \omega}) \!</math>
या
<math>X(e^{i \omega}) = X_E(e^{i \omega}) + X_O(e^{i \omega}) \!</math>

Time Domain <math>x[n] \!</math>	Frequency Domain <math>X(e^{i \omega}) \!</math>
<math>x^*[n]\!</math>	<math>X^*(e^{-i \omega}) \!</math>
<math>x^*[-n]\!</math>	<math>X^*(e^{i \omega}) \!</math>