पांचवीं घात वाले समीकरण

पांचवीं घात वाले समीकरण (quintic equation) बहुपद समीकरणों के समूह से संबंधित हैं। इन समीकरणों में कम से कम एक अज्ञात मान निर्धारित किया जाना है और कम से कम दो स्थिर गुणांक हैं। आधार के रूप में इस अज्ञात मान की घातें और घातांक के रूप में 0 से 5 तक की प्राकृतिक संख्याएं इन समीकरणों में एक रैखिक संयोजन में जुड़ी हुई हैं।

परिभाषा

पांचवीं घात वाले समीकरण का सर्वसामान्य रूप यह है:

<math>ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0</math>

यहां दिखाया गया मान x अज्ञात है जिसे निर्धारित किया जाना है।

पांचवीं घात वाले समीकरण में, अज्ञात का उपयोग आधार के रूप में किया जाता है और 0 से 5 तक की संख्याओं को घातांक के रूप में उपयोग किया जाता है। परिणामी शक्तियों को निरंतर गुणांक से गुणा किया जाता है और फिर योग में जोड़ा जाता है। सामान्य तौर पर, अज्ञात मान x के निर्धारण के लिए गैर-प्राथमिक मूलक अभिव्यक्तियों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

इतिहास

दूसरे, तीसरे और चौथे घात वाले समीकरणों को हमेशा मूलों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। 1545 में, गेरोलामो कार्डानो नामक गणितज्ञ ने "Ars magna de Regulis Algebraicis" नामक अपने काम में तीसरी घात के सामान्य समीकरणों का हल प्रकाशित किया:

<math>cx^3 + dx^2 + ex + f = 0</math>

c, d, e, f के वास्तविक मान के लिये इसके मूल निम्नलिखित होंगे-

<math>x = - \frac{d}{3c} - \frac{1}{3c}\sqrt[3]{d^3 - \frac{9}{2}cde + \frac{27}{2}c^2 f + \sqrt{\bigl(d^3 - \frac{9}{2}cde + \frac{27}{2}c^2 f\bigr)^2 - \bigl(d^2 - 3ce\bigr)^3}} -</math>

<math>- \frac{1}{3c}\sqrt[3]{d^3 - \frac{9}{2}cde + \frac{27}{2}c^2 f - \sqrt{\bigl(d^3 - \frac{9}{2}cde + \frac{27}{2}c^2 f\bigr)^2 - \bigl(d^2 - 3ce\bigr)^3}}</math>

लोदोविको फेरारी के साथ, कार्डानो ने चौथी डिग्री के सामान्य समीकरणों के लिए एक समाधान भी विकसित किया।

चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान में हमेशा तीसरी डिग्री के संबंधित समीकरणों के समाधान के लिए द्विघात मूल सूत्र अभिव्यक्ति होती है:

<math>x^4 - 3(2mx^2 + 4nx + m^2 + 1) = 0</math>

<math>x_{12} = \frac{3n}{\sqrt{\{2\sinh[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(4m^3 + 3m - 9n^2)] + m\}^2 + 3m^2 + 3}} \pm</math>

<math>\pm \sqrt{\sqrt{\{2\sinh[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(4m^3 + 3m - 9n^2)] + m\}^2 + 3m^2 + 3} + \sinh[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(4m^3 + 3m - 9n^2)] + 2m}</math>

अभी दिखाया गया समाधान सूत्र सभी वास्तविक-मूल्यवान संख्यात्मक मानों m और n पर लागू होता है।

क्योंकि सभी चतुर्थ-डिग्री बहुपदों को "एक रैखिक बहुपद के द्विघात बहुपद ऋण वर्ग का वर्ग" के रूप के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है:

<math>x^4 - x - 1 = \bigl\{x^2 + \tfrac{2}{3}\sqrt{3}\sinh\bigl[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(\tfrac{3}{16}\sqrt{3})\bigr]\bigr\}^2 - \bigl\{\tfrac{2}{3}\sqrt[4]{27}\sqrt{\sinh\bigl[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(\tfrac{3}{16}\sqrt{3})\bigr]}\,x + \tfrac{1}{4}\sqrt[4]{3}\sqrt{\text{csch}\bigl[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(\tfrac{3}{16}\sqrt{3})\bigr]}\bigr\}^2</math>

संक्षिप्त रूप sinh और arsinh अतिपरवलयिक फलन और उनके स्वयं के प्रतिलोम फलन को दर्शाते हैं:

<math>\sinh[\tfrac{1}{3}\text{arsinh}(s)] = \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{\sqrt{s^2 + 1} + s} - \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{\sqrt{s^2 + 1} - s}</math>

जियानफ्रांसेस्को मालफट्टी ने 1771 में पांचवीं डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि की खोज की थी। हालाँकि, यह दृष्टिकोण केवल रूट एक्सप्रेशन द्वारा सॉल्वेबिलिटी के मामले में काम करता है। गणितज्ञ पाओलो रफिनी ने तब 1799 में 5वीं डिग्री सामान्य समीकरण की गैर-सॉल्वबिलिटी का थोड़ा त्रुटिपूर्ण प्रमाण प्रकाशित किया। अंत में, 1824 में, नील्स हेनरिक एबेल ने सफलतापूर्वक एक पूर्ण प्रमाण प्रस्तुत किया कि पांचवीं डिग्री के सामान्य समीकरण को प्राथमिक कट्टरपंथी मूल अभिव्यक्तियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। यह "हाबिल-रफिनी प्रमेय" (Abel–Ruffini-Theorem) कहता है।

ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप

गणितज्ञ गैलोइस ने बाद में 1830 में यह निर्धारित करने के लिए तरीके विकसित किए कि गणितीय जड़ों का उपयोग करके दिया गया समीकरण हल करने योग्य है या नहीं। इन मूलभूत परिणामों पर निर्माण करते हुए, जॉर्ज पैक्सटन यंग और कार्ल रनगे ने 1885 में एक स्पष्ट मानदंड साबित किया कि क्या जड़ों के साथ दी गई पांचवीं डिग्री समीकरण हल करने योग्य है या नहीं। उन्होंने दिखाया कि ब्रिंग-जेरार्ड रूप में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक इरेड्यूसिबल पांचवीं डिग्री समीकरण हल करने योग्य है यदि केवल और यदि यह निम्नलिखित पैटर्न को संतुष्ट करता है:

<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x = \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}</math>

अभी दिखाए गए समीकरण का वास्तविक-मूल्यवान समाधान निम्नलिखित तरीके से स्थापित किया गया है:

<math>x = \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15}}{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1}}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} + 2\nu - 1)}{(20\nu + 15)^{3/2}}\biggr]\biggr\} -</math>

<math>- \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15}}{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1}}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} - 2\nu + 1)}{(20\nu + 15)^{3/2}}\biggr]\biggr\}</math>

अब मान युग्म μ = 1 और ν = 0 के उदाहरण का वर्णन किया गया है:

<math>x^5 + 15x = 12</math>

<math>x = \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\cosh[\tfrac{1}{5}\text{arcosh}(\tfrac{5}{9}\sqrt{15})] - \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\sinh[\tfrac{1}{5}\text{arsinh}(\tfrac{5}{3}\sqrt{15})]</math>

इसलिए निम्नलिखित समीकरण को नीचे दिखाए गए तरीके से हल किया जा सकता है:

<math>x^5 + x = \frac{2(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2}}{5\sqrt[4]{5(2y^5 - y^6)(1 + 2y)}}</math>

<math>x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} -</math>

<math>- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\}</math>

सूत्रों का यह युग्म 0 से 2 तक की सभी वास्तविक संख्याओं y के लिए मान्य है।

अण्डाकार समाधान

अण्डाकार समाधान पथ इस सूत्र से सीधे अनुसरण करता है।

<math>x^5 + x = w</math>

<math>x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} -</math>

<math>- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\}</math>

<math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2}</math>

दिखाए गए फलनों को परिभाषित करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

<math>\vartheta_{00}(z) = 1 + 2\sum_{k = 1}^{\infty} z^{k^2} </math>

<math>\vartheta_{00}(z) = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - z^{2k})(1 + z^{2k - 1})^2</math>

<math>q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] </math>

<math>K(r) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin(\varphi)^2}} \mathrm{d}\varphi </math>

निम्नलिखित अतिपरवलयिक लेमनिसकट फलन (hyperbolic lemniscate function) पर लागू होता है:

<math>

\text{ctlh}\bigl[\tfrac{1}{2}\mathrm{aclh}(s)\bigr]^2 = (2s^2 + 2 + 2\sqrt{s^4 + 1})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{s^4 + 1} + 1} + s) </math> लेमनिसकट फलनों के की परिभाषाएँ:

<math>\mathrm{sl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\{\frac{4}{G}\sin\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \cos(\varphi/G)^2}\biggr\}\biggr\rangle</math>

<math>\mathrm{cl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\{\frac{4}{G}\cos\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \sin(\varphi/G)^2}\biggr\}\biggr\rangle</math>

<math>[\text{sl}(\varphi)^2 + 1][\text{cl}(\varphi)^2 + 1] = 2 </math>

<math>\text{ctlh}(\varrho) = \operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)\biggl[\frac{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+1}{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+\operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2}\biggr]^{1/2} </math>

<math>\text{aclh}(s) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\,\pi\,G - \int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{s^4 t^4 + 1}} \,\mathrm{d}t </math>

कार्ल फ्रेडरिक गाउस के अनुसार गाउस स्थिरांक को G अक्षर से निरूपित किया जाता है।

<math>G = \tfrac{1}{2}\sqrt{2\pi}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-2} </math>

चार्ल्स हर्मिट बाद में 1858 में जैकोबी थीटा फलन का उपयोग करके पांचवीं डिग्री सामान्य समीकरण को हल करने में सफल रहे।

गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने लियोनार्ड जेम्स रोजर्स के साथ मिलकर निरंतर अंश फलनों का आविष्कार किया:

<math>R(z) = z^{1/5} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(1-z^{5n-1})(1-z^{5n-4})}{(1-z^{5n-2})(1-z^{5n-3})}</math>

<math>R(z) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5} \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>

<math>R(z^2) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5} \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>

<math>S(z) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5} \cot\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5}</math>

<math>S(z) = \frac{R(z^4)}{R(z^2)R(z)}</math>

और लेमनिसकट ज्या फलन के लिए यह सूत्र लागू होता है:

<math>

\text{sl}\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\mathrm{aclh}(s)\bigr] = \sqrt{\sqrt{s^4 + 1} - s^2} </math>

सूत्रों का यह युग्म सभी वास्तविक संख्याओं w के लिए मान्य है:

<math>x^5 + x = w</math>

<math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>

<math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>

<math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^3}</math>

उदाहरण

ये दो उदाहरण गणनाएं हैं:

<math>x^5 + x = 3</math>

<math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>

<math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>

<math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^3}</math>

अनुमानित संख्यात्मक मान:

<math>q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\} \approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909</math>

<math>x \approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727</math>

समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को समान रूप से स्थापित किया जा सकता है:

<math>x^5 + x = 7</math>

<math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>

<math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>

<math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^3}</math>

अनुमानित संख्यात्मक मान:

<math>q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\} \approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236</math>

<math>x \approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989</math>