तत्समक फलन

तत्समक फलन का एक ज्यामितिय निरूपण

गणित में तत्समक फलन जिसे तत्समक सम्बंध, तत्समक प्रतिचित्र या तत्समक रूपांतरण भी कहते हैं वह फलन है जो निविष्ट मान को वैसा ही निर्गम करता है जैसा तर्क में काम में लिया गया है। समीकरण के रूप में यह फलन f(x) = x के रूप में दिया जाता है।

परिभाषा

यदि M एक समुच्चय है, M पर तत्समक फलन f इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि फलन प्रांत और सहप्रांत M के साथ निम्न समीकरण को संतुष्ट करे।

f(x) = x    ∀ x ∈ M.

अन्य शब्दों में, फलन M के प्रत्येक अवयव x से निर्दिष्ट अवयव M में x है।

अतः M पर तत्समक फलन f को प्रायः id_M द्वारा लिखा जाता है।

समुच्चय सिद्धान्त के पदो में, जहाँ फलन एक विशेष प्रकार के बुलीय सम्बंध से परिभाषित किया जाता है और तत्समक फलन तत्समक सम्बंध या M के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।

बीजगणितीय गुणधर्म

यदि f : M → N कोई फलन है तो हमें f o id_M = f = id_N o f प्राप्त होता है (जहाँ "o" फलन सम्मिश्रण को निरूपित लरता है). विशेष रूप से, id_M सभी M से M फलनों के एकाभ का तत्समक अवयव है।

चूँकि एकाभ का तत्समक अवयव अद्वितीय होता है, अतः M पर तत्समक फलन के रूप में इस तत्समक अवयव को परिभाषित कर सकता है। इस प्रकार की परिभाषा संवर्ग सिद्धांत में तत्समकारिता की अवधारणा की व्यापक परिभाषा देता है, जहाँ M की अंतराकारिता का फलन होना आवश्यक नहीं है।

गुण्धर्म

• तत्समक फलन एक रैखिक संकारक है जब इसे सदिश समष्टि पर लागू किया जाता है।
• संख्या सिद्धान्त में धनात्मक पूर्णाकों पर तत्समक फलन पूर्णतः गुणनात्मक फलन है (आवश्यक रूप से गुणक का मान एक है।)।
• एक n-विमिय सदिश समष्टि में तत्समक फलन को इकाई आव्यूह द्वारा निरूपित किया जाता है।
• दूरीक समष्टि में तत्समक समदूरीकता होती है।

ये भी देखें

• आविष्टि प्रतिचित्र