भास्कर प्रथम का ज्या सन्निकटन सूत्र का स्रोत देखें

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[[भारत]] के महान गणितज्ञ [[भास्कर प्रथम]] ने अपने '[[महाभास्करीय]]' नामक ग्रंथ में त्रिकोणमितीय फलन ज्या य (Sin x) का मान निकालने का एक [[परिमेय व्यंजक]] दिया है<ref name="mcs">{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bhaskara_I.html|title=Bhaskara I|last=J J O'Connor and E F Robertson|date=November 2000|publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland|accessdate=22 April 2010|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100323052236/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bhaskara_I.html|archivedate=23 मार्च 2010|url-status=dead}}</ref>। यह पता नहीं है कि भास्कर ने यह [[सन्निकटन]] सूत्र कैसे निकाला होगा। किन्तु गणित के अनेकों इतिहासकारों ने अपने-अपने अनुमान लगाये हैं कि भास्कर ने यह सूत्र किस प्रकार निकाला होगा। यह सूत्र सुन्दर एवं सहज है तथा इसके द्वारा Sin x का पर्याप्त शुद्ध मान प्राप्त होता है।<ref name="Brummelen">{{Cite book|last=Glen Van Brummelen|title=The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=978-0-691-12973-0}} (p.104)</ref>

[[महाभास्करीय]] में आठ अध्याय हैं। सातवें अध्याय के श्लोक १७, १८ और १९ <ref name="Gupta">{{Cite journal|last=R.C. Gupta|year=1967|title=Bhaskara I' approximation to sine|journal=Indian Journal of HIstory of Science|volume=2|issue=2|url=http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005af0_121.pdf|accessdate=20 April 2010|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120316083451/http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005af0_121.pdf|archivedate=16 March 2012|df=dmy-all}}</ref>में उन्होने sin x का सन्निकट मान (approximate value) निकालने का निम्नलिखित सूत्र दिया है-
:<math> \sin x \approx \frac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad (0 \leq x \leq \frac{\pi}{2})</math>
इस सूत्र को उन्होने [[आर्यभट]]्ट द्वारा दिया हुआ बताया है। इस सूत्र से प्राप्त '''ज्या य''' के मानों का आपेक्षिक त्रुटि 1.9% से कम है। (अधिकतम विचलन <math>\frac{16}{5\pi} - 1 \approx 1.859\%</math> जो <math>x=0</math> पर होता है।)<ref name="Joseph">{{Cite book|last=George Gheverghese Joseph|title=[[A Passage to Infinity|A passage to infinity : Medieval Indian mathematics from Kerala and its impact]]|publisher=SAGE Publications India Pvt. Ltd.|location=New Delhi|year=2009|isbn=978-81-321-0168-0}} (p.60)</ref>

:''मख्यादिरहितं कर्मं वक्ष्यते तत्समासतः।''
:''चक्रार्धांशकसमूहाद्विधोध्या ये भुजांशकाः॥१७॥''
:''तच्छेषगुणिता द्विष्टाः शोध्याः खाभ्रेषुखाब्धितः। ''
:''चतुर्थांशेन शेषस्य द्विष्ठमन्त्य फलं हतम् ॥१८॥''
:''बाहुकोट्योः फलं कृत्स्नं क्रमोत्क्रमगुणस्य वा।''
:''लभ्यते चन्द्रतीक्ष्णांश्वोस्ताराणां वापि तत्त्वतः ॥१९॥''

: ''( अनुवाद :  प्लोफ्कर (Plofker) ने इसका अनुवाद निम्नलिखित किया है- <ref>Kim Plofker, Mathematics in Ancient India, Princeton University Press, 2008,
page 81</ref>
: '' The degree of the arc, subtracted from the total degrees of
: ''half a circle, multiplied by the remainder from that [subtraction], are
: ''put down twice. [In one place] they are subtracted from sky-cloud-arrow-sky-ocean [40500];
: ''[in] the second place, [divided] by one-fourth of [that] remainder 
: ''[and] multiplied by the final result [i.e., the trigonometric radius].”)

== इन्हें भी देखें ==
* [[आर्यभट की ज्या सारणी]]
* [[माधवाचार्य की ज्या सारणी|माधव की ज्या सारणी]]

==बाहरी कड़ियाँ==
*[https://web.archive.org/web/20180503180317/http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol02_2_3_RCGupta.pdf Bhaskar I's approximation to Sine] (RC Gupta , BIT Ranchi)

==सन्दर्भ==
{{टिप्पणीसूची}}

[[श्रेणी:त्रिकोणमिति]]
[[श्रेणी:भारतीय गणित]]
[[श्रेणी:गणित का इतिहास]]
[[श्रेणी:ज्यामिति का इतिहास]]