हरात्मक संख्या

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हरात्मक संख्या <math>H_{n,1}</math> जहाँ <math>n=\lfloor{x}\rfloor</math> (लाल रेखा) अपनी उपगामी सीमा <math>\gamma+\ln[x]</math> (नीली रेखा) के साथ।

गणित में, nवीं हरात्मक संख्या प्रथम n प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रम का संकलन है। सामान्यतः इसे Hn से प्रदर्शित करते हैं:

<math>H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.</math>

यह इन प्राकृत संख्याओं के हरात्मक माध्य के व्युत्क्रम का n गुणा भी होता है।

हरात्मक संख्याओं में अंतर्निहित तत्समक

परिभाषानुसार हरात्मक संख्याएं पुनरावृत्ति सम्बंध को सन्तुष्ट करते हैं:

<math>H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n}.</math>

वे निम्न तत्समक को भी सन्तुष्ट करते हैं

<math>\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n.</math>

गणना

ऑयलर द्वारा प्रतिपादित समाकल निरूपण

<math> H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx. </math>

यह सरल बीजगणितीय तत्समकता का परिणाम है

<math>\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.</math>

सरल समाकल सूत्र x = 1−u,Hn के लिए चारु संचयात्मक वाक्यांश निम्न है

<math>\begin{align}

H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \\ &=-\int_1^0\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\ &= \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\ &= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom nk u^{k-1}\right]\,du \\ &= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \int_0^1u^{k-1}\,du \\ &= \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk . \end{align}</math> रेट्केस तत्समकता में <math>x_1=1,\ldots,x_n=n</math> लिखने और <math>\Pi_k(1,\ldots,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!</math> का उपयोग करने पर हमें निम्न निरूपण प्राप्त होता है <math>H_n=H_{n,1}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2\Pi_k(1,\ldots,n)}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk.</math>

ये भी देखें

बाहरी कड़ियाँ

सन्दर्भ

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