फूर्ये रूपान्तर

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साँचा:asbox फूर्ये रूपान्तर (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम जोसेफ फूर्ये के नाम पर पड़ा है।

फूर्ये रूपान्तर समय <math> \scriptstyle f(t) </math> के किसी फलन को एक नए फलन <math>\scriptstyle \hat f or \scriptstyle F, </math> में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन F को फलन f का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।

<math> \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t </math>

प्रमुख सूत्र

फलन रूपान्तर टिप्पणी
1 <math>af(t)+bg(t)\,</math> <math>aF(\omega)+bG(\omega)\,</math> रैखिकता
2 <math>f(t-a)\,</math> <math>e^{-i\omega a}F(\omega)\,</math> विलम्ब (delay)
3 <math>e^{iat}f(t)\,</math> <math>F(\omega-a)\,</math> आवृत्ति शिफ्ट
4 <math>f(at)\,</math> a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,</math> a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> 'चपटा' हो जाएगा।
5 <math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,</math> <math>(i\omega)^n F(\omega)\,</math> Свойство преобразования Фурье от <math>n</math>
6 <math>t^n f(t)\,</math> <math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,</math>
7 <math>(f*g)(t)\,</math> <math>\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,</math> फलन <math>f*g</math> का अर्थ है - फलन <math>f</math> और <math>g</math> का कॉनवोलुशन.
8 <math>f(t)g(t)\,</math> <math>\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,</math>
9 <math>\delta(t)\,</math> <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,</math> <math>\delta(t)</math> का अर्थ है - डिरैक डेल्टा फलन
10 <math>1\,</math> <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,</math>
11 <math>t^n\,</math> <math>i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,</math>
12 <math>e^{iat}\,</math> <math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,</math>
13 <math>\cos(at)\,</math> <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,</math> 1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - <math>\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,</math>
14 <math>\sin(at)\,</math> <math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,</math>
15 <math>\exp(-at^2)\,</math> <math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,</math> इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन <math>\exp(-t^2/2)</math> का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
16 <math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,</math> <math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,</math> रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
17 <math>\frac{1}{t}\,</math> <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,</math> यहाँ <math>\sgn(\omega)\,</math> — sgn फलन (चिह्न फलन) है।
18 <math>\frac{1}{t^n}\,</math> <math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,</math> 17 का सामान्यीकृत रूप
19 <math>\sgn(t)\,</math> <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,</math> 17 का द्वैत
20 <math>\sqrt{2\pi}\theta(t)\,</math> <math>\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,</math> यहाँ <math>\theta(t)\,</math> — हेविसाइड फलन है।

इन्हें भी देखें

बाहरी कड़ियाँ

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