प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन
कैलकुलस में प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) , समाकलन की एक प्रमुख विधि है। वस्तुतः यह अवकलन के शृंखला नियम का उल्टा (counterpart) है।
परिभाषा
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\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt. </math>
उदाहरण 1
निम्नलिखित समाकलन पर विचार कीजिये।
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\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx </math> हम यह प्रतिस्थापन करते हैं : u = ϕ(x) = x2 + 1, जिससे du = 2x dx प्राप्त होता है। अतः; x dx = ½du
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\begin{align} \int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx & {} = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\ & {} = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)). \end{align} </math>
प्रतिस्थापन करते हुए समाकलन की सीमाओं को बदलना नहीं भूलना चाहिये। ध्यान दें कि निचली सीमा x = 0 के स्थान पर u = 02 + 1 = 1 रखा गया है। इसी तरह ऊपरी सीमा x = 2 के स्थान पर u = 22 + 1 = 5 रखा गया है
Integration e^2logsecx