खंडशः समाकलन
साँचा:asbox कैलकुलस में खंडश: समाकलन (integration by parts) एक प्रमेय है जो दो फलनों के गुणनफल के समाकल को निम्नलिखित प्रकार से व्यक्त करता है-
- <math>\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) \, u'(x) dx </math>
उपरोक्त को छोटे रूप में निम्नलिखित ढंग से भी लिखा जाता है:
- <math>\int u \, dv=uv-\int v \, du.\!</math>
उदाहरण
- <math>\int x e^{x}dx = xe^{x} - \int e^{x}dx=(x-1)e^x \,</math> + C
- <math>\int_{1}^{2}x\ln(x) dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2}xdx\,</math>
<math> \begin{align} \int e^x \cdot \left(2-x^2\right) \,\mathrm{d}x & = e^x \cdot \left(2-x^2\right) - \int e^x \cdot (-2x) \,\mathrm{d}x \\ & = e^x \cdot \left(2-x^2\right) + e^x \cdot 2x - \int 2 \cdot e^x \,\mathrm{d}x \\ & = e^x \cdot \left(2-x^2\right) + e^x \cdot 2x - 2\cdot e^x + C\\ & = e^x \cdot \left(2-x^2 +2x -2\right) + C\\ & = e^x \cdot \left(2x-x^2\right) + C\,. \end{align} </math>
- <math>\int \sin^5x \; \cos^2x dx.</math>
<math>\sin^5x \; \cos^2 x=(\sin^2x)^2 \; \cos^2x \; \sin x= (1-\cos^2x)^2 \; \cos^2x\;\sin x</math>
<math>\begin{matrix} \int \sin^5 x \cos^2x dx= \int \sin^4 x \cos^2 x \sin x\ dx = \\
\int (1-\cos^2 x )^2 \cos^2x \sin x\ dx = \\
\int (1-u^2)^2\;u^2\;(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du = \\
-(\frac{u^3}{3} - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7})+C = \\
-\frac{1}{3}\cos^3x + \frac{2}{5}\cos^5x - \frac{1}{7}\cos^7x + C \end{matrix}</math>