कौशी अभिसरण परीक्षण

कृपया भ्रमित न हों और इसे कौशी संघनन परीक्षण से भिन्न समझें।

कौशी अभिसरण परीक्षण किसी अनन्त श्रेणी के अभिसरण के परीक्षण के लिए काम में लिया जाता है। एक श्रेणी

<math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math>

सभी a_i वास्तविक अथवा सम्मिश्र के लिए यह योग के लिए अभिसारी है यदि और केवल यदि ∀ <math>\varepsilon>0</math> एक प्राकृतिक संख्या N इस प्रकार है कि

<math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>

∀ साँचा:nobreak और साँचा:nobreak.

यह परीक्षण कार्य करता है क्योंकि वास्तविक संख्याओं की समष्टि R और सम्मिश्र संख्याओं की समष्टि C (निरपेक्ष मान द्वारा दिए गए दूरिक सहित) दोनों पूर्ण हैं, अतः श्रेणी अभिसारी होगी यदि और केवल यदि आंशिक योग

<math>s_n:=\sum_{i=0}^n a_i</math>

एक कौशी अनुक्रम है : प्रत्येक <math>\varepsilon>0</math> के लिए एक संख्या N इस प्रकार परिभषित है कि प्रत्येक n, m > N के लिए

<math>|s_m-s_n|<\varepsilon</math>

माना m > n और अतः एक धनात्मक संख्या p = m − n परिभाषित करने पर

<math>|s_{n+p}-s_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon.</math>