अभिलक्षणिक मान तथा अभिलक्षणिक सदिश

किसी अशून्य वर्ग मैट्रिक्स <math>A</math> का अभिलाक्षणिक सदिश (आइगेन वेक्टर / eigenvector) <math>v</math> वह अशून्य सदिश है जो निम्नलिखित विशेषता रखता है-

<math>A v = \lambda v</math>

जहाँ <math>\lambda</math> एक संख्या है। इसे <math>A</math> का अभिलाक्षणिक मान (आइगेन मान / eigenvalue) कहा जाता है।

उदाहरण

<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix},</math>

के लिए सदिश

<math>v = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \end{bmatrix}</math>

अभिलाक्षणिक सदिश है जिसका अभिलाक्षणिक मान 2 है। क्योंकि,

<math>A v = \begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-4) \\ 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) \end{bmatrix}</math>

<math> = \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \end{bmatrix}.</math>

लेकिन निम्नलिखित सदिश

<math>v = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>

अभिलाक्षणिक सदिश नहीं है क्योंकि

<math>\begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix},</math>

तथा यह सदिश मूल सदिश <math>v</math> का कोई गुणक (multiple) नहीं है।

दूसरा उदाहरण

मैट्रिक्स

<math>A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix},</math>

हो तो,

<math>A \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix} = 0 \cdot \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\quad\quad</math>

<math>A \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\3 \end{bmatrix} = 3 \cdot \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix},\quad\quad</math> तथा

<math>A \begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\4\\0 \end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix}.</math>

अतः सदिश <math>[1,0,0]^\top</math>, <math>[0,0,1]^\top</math> और <math>[1,2,0]^\top</math> सदिश <math>A</math> के अभिलाक्षणिक सदिश हैं तथा संगत अभिलाक्षणिक मान क्रमशः 0, 3 और 2 हैं। (यहाँ संकेत <math>{}^\top</math> मैट्रिक्स के ट्रांसपोज का प्रतीक है।