E (गणितीय नियतांक)

साँचा:lowercase title गणित में e एक प्रागनुभविक संख्या है। इसका मान लगभग 2.71828 है। इसको यदाकदा 'आयलर संख्या' (Euler's number) भी कहते हैं। e एक महत्त्वपूर्ण गणितीय नियतांक है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार यही संख्या ली जाती है।

परिभाषा

e को निम्नलिखित दो व्यंजकों द्वारा पारिभाषित किया जाता है-

<math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

<math>e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots</math>

गुण

e एक प्रागनुभविक अपरिमेय संख्या है।

कैलकुलस

इक्सपोनेन्सियल फलन e^x इस कारण भी महत्त्वपूर्ण है क्योंकि यह एकमात्र फलन है जिसका अवकलज (differential) भी स्वयं यही फलन है। (अतः इसका प्रति-अवकलज भी इक्सपोनेन्सियल फलन e^x इस कारण भी महत्त्वपूर्ण है क्योंकि यह एकमात्र फलन है जिसका अवकलज (differential) भी स्वयं यही फलन है। (अतः इसका प्रति-अवकलज भी यही है)

<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x</math>

<math>

\begin{align} e^x & = \int_{-\infty}^x e^t\,dt \\[8pt] & = \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_0^x e^t\,dt \\[8pt] & = 1 + \int_{0}^x e^t\,dt. \end{align} </math>

आयलर का सूत्र

<math>e^{ix} = \cos(x) + i\,\mathrm{sin}(x),</math>

इस सूत्र में x = π रखने पर आयलर सर्वसमिका प्राप्त होती है-

<math>e^{i\pi}+1=0; </math>

सतत भिन्न

<math>e - 1 = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots] </math>